Loading... ## 数据类型 ### 离散型随机变量 - **离散型数据**：由记录不同类别个体的数目所得到的数据，又称为计数数据 - **离散型随机变量**：其数值只能用自然数或整数单位表示，例如，企业个数，职工人数，设备台数等 **例如**：某地某日新生儿的出生人数 ### 连续性随机变量 - **连续型数据**：与某种标准做比较所得到的数据，又称为度量数据 - **连续性随机变量**：变量可以在某个区间内取任一实数，即变量的取值可以是连续的  ## 数据的频率分布 - **频率分布**反映一组数据中不同观测值出现的频率 - 用图和表对样本数据进行定性归纳 ### 频数（率）图 此图为条形图（柱形图）  ## 连续型数据频数表和频数图的绘制 ### 1. 求全距（极差） 全距是资料（样本）中最大值与最小值之差，又称为极差（range），用$R$表示，即： $$ R = max - min $$ ### 2. 确定组数 组数对多少视样本含量及资料的变动范围大小而定，一般以反映**资料的规律性**为原则 | 样本含量（n） | 组数 | | ------- | ----- | | 30-60 | 5-8 | | 60-100 | 7-10 | | 100-200 | 9-12 | | 200-500 | 10-18 | | 500以上 | 15-30 | ### 3. 确定组距 每组最大值与最小值之差称为组距，记为 $i$，分组时要求各组的组距相等，即： $$ 组距(i) = \frac{全距(R)}{组数} $$ ### 4. 确定组限及组中值 各组的最大值与最小值称为**组限**。最小值称为**下限**，最大值称为**上限** 每一组的中点值称为**组中值**，是该组的代表值 组中值与组限电关系如下：（平均数） $$ 组中值 = (组下限+组上限) / 2 $$ 第一组组中值确定以后，第一组组中值加上组距就是下一组的组中值；以此类推，可以求出各组的组中值 ### 5. 确定组界（Class Boundaries） 由于数据通常是连续的（可能是小数），而测量值是四舍五入的，因此组界要调整，以反映实际的数值范围： - **下组界（Lower Class Boundary, LCB）** = 组下限 - 0.5 - **上组界（Upper Class Boundary, UCB）** = 组上限 + 0.5 例如，对于组限 37～39： - 下组界 = 37 - 0.5 = 36.5 - 上组界 = 39 + 0.5 = 39.5 | 组限（整数表示） | 组界（真实范围） | | -------- | --------- | | 37～39 | 36.5～39.5 | | 40～42 | 39.5～42.5 | | 43～45 | 42.5～45.5 | ### 绘制连续性数据频数直方图  ### 使用 R 绘制连续性数据频数直方图 1. 基本绘制频数直方图 ```r # 生成示例数据（假设是体重数据） data <- c(37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49) # 绘制频数直方图 hist(data, main = "频数直方图", # 标题 xlab = "体重 (kg)", # X 轴标签 ylab = "频数", # Y 轴标签 col = "lightblue", # 颜色 border = "black") # 直方图边框颜色 ```  2. 按组界划分的频数直方图 ```r data <- c(37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49) # 指定分组区间 breaks <- seq(36.5, 51.5, by = 2) # 从 36.5 到 49.5，间隔 3 # 绘制直方图 hist(data, breaks = breaks, main = "按组界划分的频数直方图", xlab = "体重 (kg)", ylab = "频数", col = "skyblue", border = "black") ```  图中的下组限为36，上组限为50 **为什么上组限不使用49.5？** 其中的组距为2，要保证组距一样 ## 常见误区  直方图中，相邻的组之间要连在一起，因为直方图中的面积是具有实际意义的，表示连续数据  条形图（柱形图）就没有这样的规定 ### 条形图（柱形图）与直方图之间的区别与关系 条形图（**Bar Chart**）和直方图（**Histogram**）虽然看起来相似，但它们有 **本质区别**： | **对比项** | **条形图（Bar Chart）** | **直方图（Histogram）** | |------------|-------------------------|-------------------------| | **数据类型** | 适用于 **离散数据**（如分类数据） | 适用于 **连续数据**（如身高、体重） | | **X 轴** | **类别（分类变量）** | **数值区间（连续变量）** | | **Y 轴** | **频数或相对频率** | **频率密度（区间内的频数）** | | **柱子间隔** | **有间隔**，每个柱子表示一个独立的类别 | **无间隔**，柱子连续，表示数值区间 | | **示例数据** | 城市、性别、职业、品牌等 | 体重、身高、温度、年龄等 | --- #### **1. 条形图（Bar Chart）** 适用于**离散数据**，如不同品牌的销量、不同国家的人口等。 ##### **示例（不同颜色的苹果销售量）** ```r fruit_counts <- c(红苹果 = 50, 绿苹果 = 30, 黄苹果 = 20) barplot(fruit_counts, main = "不同颜色苹果销售量", col = "skyblue") ``` **特点**： - `x` 轴表示 **类别**（苹果颜色）。 - `y` 轴表示 **数量**（销量）。 - **柱子之间有间隔**，因为不同类别之间没有连续性。 --- #### **2. 直方图（Histogram）** 适用于**连续数据**，如人的身高、体重、分数分布等。 ##### **示例（学生身高分布）** ```r heights <- c(150, 160, 165, 170, 172, 175, 180, 185, 190, 195) hist(heights, breaks = seq(150, 200, by = 10), col = "lightblue", main = "身高分布直方图") ``` **特点**： - `x` 轴表示 **连续变量的区间**（身高范围）。 - `y` 轴表示 **频数（区间内的人数）**。 - **柱子之间没有间隔**，表示数据的连续性。 --- #### **直方图 vs. 条形图的示意图** ##### **条形图（有间隔）** ``` 类别1 ███ 类别2 ██████ 类别3 ████ ``` ##### **直方图（无间隔）** ``` (0-10] ███ (10-20] ██████ (20-30] ████ ``` --- #### **总结** - **条形图** 适用于 **分类数据**（城市、职业、品牌）。 - **直方图** 适用于 **连续数据**（身高、体重、温度）。 - **条形图有间隔**，**直方图无间隔**。 - **直方图的 X 轴是区间**，**条形图的 X 轴是类别**。 如果你要绘制**体重分布**，用 **直方图**；如果你要绘制**不同颜色苹果的销售量**，用 **条形图**。 ## 样本特征数 定义：描述样本频率分布特征的数 根据表示的意义不同可分为两种： - 表示**集中趋势**或中心位置 - 表示**离中**趋势或变异 ### 表示集中趋势或中心位置 #### 算术平均数（arithmetic mean） 简称为**平均数（mean）** $$ \bar{x} = {{x_{1}+x_{2}+···+x_{n}}\over{n}} = {{\sum^n_{i=1}x_{i}}\over{n}} $$ 或 $$ \bar{x} = {\sum{x}\over{n}} $$ #### 求和符号的运算法则： - 常数可以提刀总和符号之外 $$ \sum^n_{i=1}{ax_{i}} = a \sum^n_{i=1}{x_{i}} $$ - 常数的总和等于该常数的$n$倍 $$ \sum^n_{i=1}{a} = na $$ - 代数和的总和等于总和的代数和 $$ \sum^n_{i=1}(x_{i}+y_{i}-z_{i}) = \sum^{n}_{i=1}{x_{i}} + \sum^n_{i=1}y_{i} - \sum^n_{i=1}z_{i} $$ #### 平均数的计算方法 - 对非频数资料的计算 - 直接法（离散型数据） $$ \bar{x} = {{x_{1}+x_{2}+···+x_{n}}\over{n}} = {\sum^n_{i=1}{x_{i}}\over{n}} $$ - 对频数资料的计算 - 加权法（连续型数据） $$ \bar{x} = {{\sum^k_{i=1}f_{i}x_{i}}\over{\sum^k_{i=1}f_{i}}} = {\sum{fx}\over{\sum f}} $$ 其中，$x$为组值（组中值）；$f$为频数 对于**离散型数据**来说，使用直接法和加权法算出来的平均数是一样的   #### 中位数与众数 **中位数**：位于有序数列中点上的数，以$M_{d}$表示 **众数**：具有最高频数的组值或中值，以$M_{o}$表示 ### 表示离中趋势或变异 #### 范围（range） 范围又称全距，记为$R$，是一组数据中的最大值与最小值的差，$R=max-min$ #### 平均离差（mean deviation） **平均离差**：求离均差**绝对值**的和，然后用$n$去除 $$ MD = {\sum{\lvert{x - \bar{x}}\rvert}\over n} $$  #### 方差（variance） 所有离均差的平方和相加称为离差平方和，用$ss$表示 样本的方差公式： $$ s^2 = {{\sum^n_{i=1}{(x_{i}-\bar{x})}\over{n-1}}} $$ 整体的方差公式： $$ \sigma^2 = {\sum^n_{i=1}(x_{i}-\bar{x})\over{n}} $$  #### 标准差（standard deviation） 开方后的方差称为标准差，记为$s$ $$ s = \sqrt{ {\sum^n_{i=1}{(x_{i}-\bar{x})^2}}\over{n-1} } $$ 同时对于**非频数资料的标准差**存在另外一种计算方法： $$ s = {\sqrt{ {\sum^n_{i=1}{x^{2}_{i}}-{{\left( \sum^n_{i=1}x_{i} \right)^2}\over{n}}\over{n-1}} }} $$  对于**频数资料的标准差**也存在另外一种计算方法： $$ s = {\sqrt{ {\sum^k_{i=1}{(fx^2)_{i} - {{\left[ \sum^k_{i=1}{fx}_{i} \right]^2}\over{N}}\over{N-1}}} }} $$ 其中，$f$ = 频数，$x$ = 组值（组中值），$N$ = 总频数，$k$ = 组数 标准差离散程度的实际意义：  #### 小结 抽样理论证明：用标准差估计总体离散程度最可靠，平均离差次之 ### 样本的其他特征数 #### 偏斜度（skewness） - 度量数据围绕众数呈不对称的程度 - 大小说明曲线倾斜的程度 $$ g_{1} = {{m_{3}\over{m^{3/2}_{2}}}} = {{\sum^n_{i=1}(x_{i}-\bar{x})^3}\over{\left( \sum^n_{i=1}(x_{i}- {\bar{x}}^2)\right)}^{3\over_{2}}} $$ 从图像上来看： - 众数 < 平均数（左偏） - 众数 > 平均数（右偏）  #### 陡度（kurtosis） - 用来量度曲线形状 - $g_{2}=0$，则认为数据是正态的；$g_{2}>0$，曲线过于陡峭；$g_{2}<0$，曲线过于平坦 $$ g_{2} = {{m_{4}\over{m^2_{2}}}-3}={{\sum^n_{i=1}(x_{i}-\bar{x})^4}\over{(\sum^n_{i=1}(x_{i}-\bar{x})^2)^2}}-3 $$  当进行两个或多个资料变异程度的比较时，如果**度量单位**与**平均数**都相同，可以直接利用标准差来比较 #### 变异系数（coefficient of variability, CV） 如果单位或者平均数不同时，比较其变异程度就不能采用标准差，而需采用标准差与平均数的比值（相对值）来比较，称为**变异系数** $$ CV = {{s}\over{\bar{x}}} $$  最后修改：2025 年 03 月 11 日 © 允许规范转载 赞 如果觉得我的文章对你有用，请随意赞赏
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